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羅保林《變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念》的教學(xué)反思
在社會(huì)一步步向前發(fā)展的今天，教學(xué)是我們的任務(wù)之一，反思指回頭、反過(guò)來(lái)思考的意思。反思要怎么寫呢？下面是小編收集整理的羅保林 《變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念》的教學(xué)反思，僅供參考，歡迎大家閱讀。
本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了“變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識(shí)的基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由于新教材未設(shè)計(jì)極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖,自我感受整個(gè)逼近的過(guò)程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動(dòng)態(tài)的過(guò)程，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。
本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問(wèn)題”兩個(gè)教學(xué)重心展開(kāi)。先回憶導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率——瞬時(shí)變化率”的研究思路，運(yùn)用逼近的思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義——“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”。
完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師點(diǎn)明，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達(dá)到“以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜對(duì)象”的目的，并通過(guò)兩個(gè)例題的研究，讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，并感受導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性。
本節(jié)課注重以學(xué)生為主體,每一個(gè)知識(shí)、每一個(gè)發(fā)現(xiàn)，總設(shè)法由學(xué)生自己得出，課堂上給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、動(dòng)筆演算等活動(dòng)后，再組織討論，本教師只是在關(guān)鍵處加以引導(dǎo)。從學(xué)生的作業(yè)看來(lái)，效果較好。
在例題講解時(shí)，注重審題（分析關(guān)鍵的詞句）和解題反思，感覺(jué)效果不錯(cuò)！但是，作為探究課，時(shí)間如果控制不好，易講不完，我就是例2來(lái)不及分析完，于是當(dāng)作課外作業(yè)，所以時(shí)間要注意調(diào)配。有些學(xué)生對(duì)如何畫出過(guò)該點(diǎn)的切線有點(diǎn)困難，此時(shí)，教師給予示范。
拓展閱讀：《導(dǎo)數(shù)的概念》中數(shù)學(xué)說(shuō)課稿
導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲�！秾�(dǎo)數(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容，大致分成四個(gè)課時(shí)，我主要針對(duì)第三課時(shí)的教學(xué)，談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計(jì)，敬請(qǐng)各位專家斧正。
一、教材分析
1.1編者意圖《導(dǎo)數(shù)的概念》分成四個(gè)部分展開(kāi)，即：“曲線的切線”，“瞬時(shí)速度”，“導(dǎo)數(shù)的概念”，“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念；介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解。從而充分借助直觀來(lái)引出導(dǎo)數(shù)的概念；用極限思想抽象出導(dǎo)數(shù)；用函數(shù)思想拓展、完善導(dǎo)數(shù)以及在應(yīng)用中鞏固、反思導(dǎo)數(shù)，教材的顯著特點(diǎn)是從具體經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，向抽象和普遍發(fā)展，使探究知識(shí)的過(guò)程簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)、有效。
1.2導(dǎo)數(shù)概念在教材的地位和作用“導(dǎo)數(shù)的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，更重要的是，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是一種高明的數(shù)學(xué)思維，用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結(jié)果；把運(yùn)算對(duì)象作用于導(dǎo)數(shù)上，可使我們擴(kuò)展知識(shí)面，感悟變量，極限等思想，運(yùn)用更高的觀點(diǎn)和更為一般的方法解決或簡(jiǎn)化中學(xué)數(shù)學(xué)中的不少問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作用；在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn)、生活的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)推動(dòng)了人類事業(yè)向前發(fā)展。
1.3教材的內(nèi)容剖析知識(shí)主體結(jié)構(gòu)的比較和知識(shí)的遷移類比如下表：
表1、知識(shí)主體結(jié)構(gòu)比較
通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)：求切線的斜率和物體的瞬時(shí)速度，這兩個(gè)具體問(wèn)題的解決都依賴于求函數(shù)的極限，一個(gè)是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個(gè)是“位置改變量與時(shí)間改變量之比”的極限，如果舍去問(wèn)題的具體含義，都可以歸結(jié)為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個(gè)背景作為新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構(gòu)提供了有效的類比方法。
1.4重、難點(diǎn)剖析
重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念的形成過(guò)程。
難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。
為什么這樣確定呢？導(dǎo)數(shù)概念的形成分為三個(gè)的層次：f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)→f（x）在開(kāi)區(qū)間（，b）內(nèi)可導(dǎo)→f（x）在開(kāi)區(qū)間（，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)→導(dǎo)數(shù)，這三個(gè)層次是一個(gè)遞進(jìn)的過(guò)程，而不是專指哪一個(gè)層次，也不是幾個(gè)層次的簡(jiǎn)單相加，因此導(dǎo)數(shù)概念的形成過(guò)程是重點(diǎn)；教材中出現(xiàn)了兩個(gè)“導(dǎo)數(shù)”，“兩個(gè)可導(dǎo)”，初學(xué)者往往會(huì)有這樣的困惑，“導(dǎo)數(shù)到底是個(gè)什么東西？一個(gè)函數(shù)是不是有兩種導(dǎo)數(shù)呢？”，“導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是怎么統(tǒng)一的？”。事實(shí)上：
�。�1）f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是這一點(diǎn)x0到x0+△x的變化率的極限，是一個(gè)常數(shù)，區(qū)別于導(dǎo)函數(shù)。
�。�2）f（x）的導(dǎo)數(shù)是對(duì)開(kāi)區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點(diǎn)的變化率，其中滲透了函數(shù)思想。
（3）導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)數(shù)！是特殊的函數(shù)：先定義f（x）在x0處可導(dǎo)、再定義f（x）在開(kāi)區(qū)間（，b）內(nèi)可導(dǎo)、最后定義f（x）在開(kāi)區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)。
�。�4）y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學(xué)者最難理解導(dǎo)數(shù)的概念，是因?yàn)槌鯇W(xué)者最容易忽視或混淆概念形成過(guò)程中幾個(gè)關(guān)鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)出現(xiàn)較大的分歧和差別，要突破難點(diǎn)，關(guān)鍵是找到“f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)”、“f（x）在開(kāi)區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)”和“導(dǎo)數(shù)”之間的聯(lián)系，而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比！用“速度與導(dǎo)數(shù)”進(jìn)行類比。
二、目的分析
2.1學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。在知識(shí)方面，對(duì)函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉，加上兩個(gè)具體背景的學(xué)習(xí)，新知教學(xué)有很好的基礎(chǔ)；在技能方面，高三學(xué)生，有很強(qiáng)的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強(qiáng)烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。
2.2教學(xué)目標(biāo)的擬定。鑒于這些特點(diǎn)，并結(jié)合教學(xué)大綱的要求以及對(duì)教材的分析，擬定如下的教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)目標(biāo)：
�、倮斫鈱�(dǎo)數(shù)的概念。
�、谡莆沼枚x求導(dǎo)數(shù)的方法。
�、垲I(lǐng)悟函數(shù)思想和無(wú)限逼近的極限思想。
能力目標(biāo)：
�、倥囵B(yǎng)學(xué)生歸納、抽象和概括的能力。
�、谂囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)表示和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。
情感目標(biāo)：通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無(wú)限對(duì)立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn)。接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極態(tài)度。
三、過(guò)程分析
設(shè)計(jì)理念：遵循特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合可接受性和可操作性原則，把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過(guò)程之中，通過(guò)演繹導(dǎo)數(shù)的形成，發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念。
導(dǎo)數(shù)的概念測(cè)試題匯編
1.函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是()
A.在該點(diǎn)的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比
B.一個(gè)函數(shù)
C.一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)
D.函數(shù)在這一點(diǎn)到它附近一點(diǎn)之間的平均變化率
[答案] C
[解析] 由定義，f(x0)是當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，yx無(wú)限趨近的常數(shù)，故應(yīng)選C.
2.如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s=3t2運(yùn)動(dòng)，則在t0=3時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A.6 B.18
C.54 D.81
[答案] B
[解析] ∵s(t)=3t2，t0=3，
s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332
=18t+3(t)2st=18+3t.
當(dāng)t0時(shí)，st18，故應(yīng)選B.
3.y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為()
A.2x B.2
C.2+x D.1
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x2，x=1，
y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2
yx=2+x
當(dāng)x0時(shí)，yx2
f(1)=2，故應(yīng)選B.
4.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，若它所經(jīng)過(guò)的路程與時(shí)間的關(guān)系為s(t)=4t2-3(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t=5時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A.37 B.38
C.39 D.40
[答案] D
[解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t，
s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故應(yīng)選D.
5.已知函數(shù)y=f(x)，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()
A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函數(shù)值的增量
B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函數(shù)在x0到x0+x之間的平均變化率
C.f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為y
D.f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為f(x0)
[答案] C
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的定義可知C錯(cuò)誤.故應(yīng)選C.
6.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為y|x=x0，即()
A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)
B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]
C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x
D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x
[答案] D
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的定義知D正確.故應(yīng)選D.
7.函數(shù)y=ax2+bx+c(a0，a，b，c為常數(shù))在x=2時(shí)的瞬時(shí)變化率等于()
A.4a B.2a+b
C.b D.4a+b
[答案] D
[解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx
=4a+b+ax，
y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故應(yīng)選D.
8.如果一個(gè)函數(shù)的瞬時(shí)變化率處處為0，則這個(gè)函數(shù)的圖象是()
A.圓 B.拋物線
C.橢圓 D.直線
[答案] D
[解析] 當(dāng)f(x)=b時(shí)，f(x)=0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應(yīng)選D.
9.一物體作直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s=3t-t2，則物體的初速度為()
A.0 B.3
C.-2 D.3-2t
[答案] B
[解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t，
s(0)=limt0 st=3.故應(yīng)選B.
10.設(shè)f(x)=1x，則limxa f(x)-f(a)x-a等于()
A.-1a B.2a
C.-1a2 D.1a2
[答案] C
[解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a
=limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.
二、填空題
11.已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則
limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;
limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.
[答案] -11，-112
[解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x
=-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;
limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x
=-12f(x0)=-112.
12.函數(shù)y=x+1x在x=1處的導(dǎo)數(shù)是________.
[答案] 0
[解析] ∵y=1+x+11+x-1+11
=x-1+1x+1=(x)2x+1，
yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.
13.已知函數(shù)f(x)=ax+4，若f(2)=2，則a等于______.
[答案] 2
[解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a，
f(1)=limx0 yx=a.a=2.
14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0，f(3)=2，f(3)=-2，則limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.
[答案] 8
[解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3
=limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.
由于f(3)=2，上式可化為
limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.
三、解答題
15.設(shè)f(x)=x2，求f(x0)，f(-1)，f(2).
[解析] 由導(dǎo)數(shù)定義有f(x0)
=limx0 f(x0+x)-f(x0)x
=limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0，
16.槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)可以看做勻加速運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是5.0105m/s2，槍彈從槍射出時(shí)所用時(shí)間為1.610-3s，求槍彈射出槍時(shí)的瞬時(shí)速度.
[解析] 位移公式為s=12at2
∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2
st=at0+12at，
limt0 st=limt0 at0+12at=at0，
已知a=5.0105m/s2，t0=1.610-3s，
at0=800m/s.
所以槍彈射出槍時(shí)的瞬時(shí)速度為800m/s.
17.在曲線y=f(x)=x2+3的圖象上取一點(diǎn)P(1,4)及附近一點(diǎn)(1+x,4+y)，求(1)yx (2)f(1).
[解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x
=(1+x)2+3-12-3x=2+x.
(2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x
=limx0 (2+x)=2.
18.函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處是否有導(dǎo)數(shù)?若有，求出來(lái)，若沒(méi)有，說(shuō)明理由.
[解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)
y=f(0+x)-f(0)=f(x)
=x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)
limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1，
limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1，
∵limx0- ylimx0+ yx，x0時(shí)，yx無(wú)極限.
函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，即不可導(dǎo).(x0+表示x從大于0的一邊無(wú)限趨近于0，即x0且x趨近于0)
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