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一元二次不等式的解法導(dǎo)學(xué)案
一元二次不等式解法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法——《一元二次不等式的解法》導(dǎo)學(xué)案
邵麗云
內(nèi)容分析:
一元二次不等式的解法是在初中學(xué)習(xí)了一元一次不等式、一元一次不等式組后而學(xué)習(xí)的內(nèi)容。一元二次不等式的解法是研究函數(shù)的重要工具,是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考?嫉膬(nèi)容。一元二次不等式的解溝通了三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系,蘊(yùn)含諸多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如數(shù)形結(jié)合,函數(shù)方程,分類討論,轉(zhuǎn)化化歸等重要的思想方法。本節(jié)主要是通過不等式的解法教學(xué),讓學(xué)生了解、掌握一些重要的思想和方法
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.經(jīng)歷探索一元二次不等式求解的推理過程,會解一元二次不等式。
2.找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。
3.體悟數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想與方法。
學(xué)習(xí)重點(diǎn):
一元二次不等式的解法。
學(xué)習(xí)難點(diǎn):
一元二次不等式的解法的分類討論。
學(xué)習(xí)關(guān)鍵:
找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關(guān)系。
學(xué)習(xí)過程:
環(huán)節(jié)1:設(shè)疑導(dǎo)思
設(shè)疑:當(dāng)x取什么值的時候,2x-7的值)等于0;大于0;小于0。
思考:可以用幾種方法求解上題?
提出問題:類比上述圖象解法,能否解決不等式x2-x-6>0,x2-x-6<0?
如何解決?
(學(xué)生獨(dú)立完成,一名學(xué)生板)
觀察黑板上圖象可得:當(dāng)x<-2或x>3時,x2-x-6>0。
當(dāng)-2<x<3時,x2-x-6<0。
【設(shè)計意圖:揭示一元二次函數(shù)和一元二次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系,滲透數(shù)學(xué)結(jié)合,函數(shù)方程思想方法!
環(huán)節(jié)2:探究方法
問題1:怎樣確定一元二次不等式ax2+bx+c>0與ax2+bx+c<0的解集?
組織討論:
思考方向:(1)確定一元二次不等式的解的關(guān)鍵是什么?
(2)有根的前提下,兩根之內(nèi)還是兩根之外由什么決定?
解題策略:使a值為正,求得兩根,“>”則兩根之外;“<”則兩根之內(nèi)。
【設(shè)計意圖:歸納方法,滲透由特殊到一般的思想方法!
從上例出發(fā),結(jié)合學(xué)生的回答結(jié)果,歸納出一元二次不等式解法,
老師引導(dǎo),學(xué)生總結(jié):
、賿佄锞y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置,由二次方程ax2+bx+c=0根的判別式△=b2-4ac的情況確定,分△>0、△=0、△<0三種情況。
、赼<0可轉(zhuǎn)化為a>0。
黑板顯示出:三個二次之間的關(guān)系 由學(xué)生填空.并歸納解一元二次不等式的步驟(學(xué)生總結(jié),教師歸納補(bǔ)充):
、倩雾(xiàng)系數(shù)a為正;
、谇蟆;
、劢鈱(yīng)的一元二次方程;
、茏詈笄蠼獬鲆辉尾坏仁。
環(huán)節(jié)3:運(yùn)用鞏固
[例1] 解下列不等式:
(1) x2+8x+15>0 (2)-x2-3x+4>0 (3) 2x2-1<x2+4x-2
(4) -x2+2x>1 (5) x2+2x+3>0 (6) x2-2x+5<0
解題反思:你覺得在解一元二次不等式過程中有哪些注意點(diǎn)?
【設(shè)計意圖:熟練掌握方法,注意數(shù)形結(jié)合,函數(shù)方程等思想方法的應(yīng)用!
環(huán)節(jié)4:深化拓展
問題2:能否寫出一個解集為(-2,1)的一元二次不等式?這樣的不等式有幾個?能給出一個一般的形式么?(學(xué)生交流討論)
[例2]若不等式2x2-ax+b>0的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞),求a、b值。
【設(shè)計意圖:體悟轉(zhuǎn)化化歸思想,函數(shù)方程,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。】
問題3:會解含參數(shù)的不等式嗎?
[例3] 解關(guān)于x的不等式:(m2-4)x<m+2。
反思:(1) 引起討論的原因是什么?
(2) 如何進(jìn)行討論?
[例4] 解關(guān)于x的不等式:x2-(m+2)x+2m<0。
反思:(1) 引起討論的原因是什么?
(2) 如何進(jìn)行討論?
[例5] 解關(guān)于x的不等式:mx2-(m+1)x+1<0。
反思:(1) 引起討論的原因是什么?
(2)如何進(jìn)行討論?
第一層次:一次不等式還是二次不等式的不確定性,對m≠0與m=0進(jìn)行討論。
第二層次:x2前系數(shù)正負(fù)(不等號方向)的不確定性,對m<0與m>0進(jìn)行討論。
第三層次: 與1大小的不確定性,對m<1、m>1與m=1進(jìn)行討論。
[例6] k為何值時,關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為(-∞,∞)?
變式1:k為何值時,關(guān)于x的一元二次不等式(k+1)x2-2x+k+1>0的解集為(-∞,∞)?
變式2:k為何值時,關(guān)于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+2>0的解集為
(-∞,∞)?
【設(shè)計意圖:加深對不等式解的理解,滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法!
環(huán)節(jié)5:總結(jié)提升
請從知識、思想方法等方面談?wù)勀愕氖斋@?
體悟數(shù)學(xué)思想 活用數(shù)學(xué)方法
一、在優(yōu)化內(nèi)容時注重數(shù)學(xué)思想方法的挖掘
。ㄒ唬┟鞔_學(xué)習(xí)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn),挖掘教材蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。
。ǘ⿵摹胺椒ā绷私狻八枷搿,用“思想”指導(dǎo)“方法”。
二、在課堂教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想方法的體悟
(一)探索“方法”,感悟“思想”。
。ǘ┬纬伞胺椒ā,理解“思想”。
。ㄈ┻\(yùn)用 “方法”,內(nèi)化“思想”。
。ㄋ模┨釤挕胺椒ā,完善“思想”。
三、在學(xué)業(yè)評價中注重數(shù)學(xué)思想方法的考評
。ㄒ唬┖瘮(shù)方程思想方法
。ǘ⿺(shù)形結(jié)合思想方法
。ㄈ┺D(zhuǎn)化化歸思想方法
。ㄋ模┓诸愑懻撍枷敕椒
。ㄎ澹┨厥馀c一般思想方法等
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