《基本不等式》教案

課題:基本不等式 第2課時    時間：2010.10.29 地點：陽春四中  年級：高二    【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識與技能：進(jìn)一步掌握基本不等式 ；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題 2．過程與方法：通過兩個例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。 3．情態(tài)與價值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。 【教學(xué)重點】 基本不等式 的應(yīng)用 【教學(xué)難點】 利用基本不等式 求最大值、最小值。 【教學(xué)過程】 1.課題導(dǎo)入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么 3.我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù). 成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。 2.講授新課 例1  (1)已知m>0,求證 。 [思維切入]因為m>0,所以可把 和 分別看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。 [證明]因為  m>0,，由基本不等式得   當(dāng)且僅當(dāng) =，即m=2時，取等號。 規(guī)律技巧總結(jié)  注意：m>0這一前提條件和 =144為定值的前提條件。 (2)  求證: . [思維切入]  由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用基本不等式,無法約掉字母a,而左邊 .這樣變形后,在用基本不等式即可得證. [證明]  當(dāng)且僅當(dāng) =a-3即a=5時,等號成立. 規(guī)律技巧總結(jié)  通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.   例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得     當(dāng) 因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元   評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。   歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行： (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 3.隨堂練習(xí) 1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．課本第101頁的練習(xí)4,習(xí)題3.   4.課時小結(jié) 本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等。 5.作業(yè)設(shè)計 課本第101頁習(xí)題[A]組的第2、4題  

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