《§27.3 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較

第一部分：《§27.3  垂徑定理（第一課時(shí)）》初始教案 教學(xué)目標(biāo)： 1、經(jīng)歷利用圓的軸對稱性對垂徑定理的探索和證明過程，掌握垂徑定理；并能初步運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的計(jì)算和證明問題； 2、在研究過程中，進(jìn)一步體驗(yàn)“實(shí)驗(yàn)——?dú)w納——猜測——證明”的方法； 3、讓學(xué)生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法 教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理的掌握及運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理的探索和證明 教學(xué)用具：圓規(guī)，三角尺，幾何畫板課件 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入 1、什么叫弦？直徑與弦的關(guān)系？ 2、什么叫弧？劣弧、優(yōu)弧、半圓的關(guān)系？ 3、圓的對稱性質(zhì)？作為軸對稱圖形，其對稱軸是？ 4、觀察并回答： （1）兩條直徑的位置關(guān)系？ （2）若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？   垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  二、新課 （一）猜想，證明，形成垂徑定理 1、猜想：弦AB在怎樣情況下會(huì)被直徑CD平分？（當(dāng)CD⊥AB時(shí)）（用課件觀察翻折驗(yàn)證） 如圖，已知CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為M。 求證：AE=BE。垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  思考：直徑CD兩側(cè)相鄰的兩條弧是否也相等？如何證明？ 給這條特殊的直徑命名——垂直于弦的直徑。并給出垂徑定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，且平分這條弦所對的弧。 （二）分析垂徑定理的條件和結(jié)論 1、引導(dǎo)學(xué)生說出定理的幾何語言表達(dá)形式 ① CD是直徑、AB是弦  ① AE=BE  垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3    ②  AD弧=BD弧 ②  CD⊥AB     ③AC弧=BC弧  2、利用反例、變式圖形進(jìn)一步掌握定理 例1 看下列圖形，是否能使用垂徑定理？ 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  3、引申定理：定理中的垂徑可以是直徑、半徑、弦心距等過圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變式：  ① 經(jīng)過圓心    ① 平分弦 一條直線具有： 得到 ② 平分弦所對的劣弧   ② 垂直于弦   ③ 平分弦所對的優(yōu)弧垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3    （三）例題 例2  如圖，已知在⊙O中， （1）弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑 （2）弦AB的長為6厘米，⊙O的半徑為5厘米，求圓心O到AB的距離 （3）⊙O的半徑為10厘米，圓心O到AB的距離為6厘米，求弦AB的長   在例2圖形的基礎(chǔ)上： 變式（1） 例3 已知：如圖，若以O(shè)為圓心作一個(gè)⊙O的同心圓，交大圓的弦AB于C，D兩點(diǎn)。 求證：AC＝BD。 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  變式（2）再添加一個(gè)同心圓，得（圖2）則AC  BD 變式（3）隱去（圖1）中的大圓，連接OA，OB，設(shè)OA=OB，求證：AC＝BD。 變式（4）隱去（圖1）中的大圓，連接OC，OD，設(shè)OC=OD，求證：AC＝BD。 三、小結(jié) 1、這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？ 2、應(yīng)用垂徑定理要注意那些問題？ 垂徑定理的條件和結(jié)論：  ① 經(jīng)過圓心    ① 平分弦 一條直線具有： 得到② 平分弦所對的劣弧   ② 垂直于弦   ③ 平分弦所對的優(yōu)弧 3、思考：若將條件中的②與結(jié)論中的①互換，命題成立嗎？ 生活實(shí)際應(yīng)用 例4（趙州橋橋拱問題）1300 多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離，也叫拱形高）為7.2米，求橋拱的半徑（精確到0.1米） 第二部分：《§27.3  垂徑定理（第一課時(shí)）》修改教案 教學(xué)目標(biāo)： 1、經(jīng)歷利用圓的軸對稱性對垂徑定理的探索和證明過程，掌握垂徑定理；并能初步運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的計(jì)算和證明問題； 2、在研究過程中，進(jìn)一步體驗(yàn)“實(shí)驗(yàn)——?dú)w納——猜測——證明”的方法； 3、讓學(xué)生積極投入到圓的軸對稱性的研究中，體驗(yàn)到垂徑定理是圓的軸對稱性質(zhì)的重要體現(xiàn)。 教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生掌握垂徑定理、記住垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論。 教學(xué)難點(diǎn)：對垂徑定理的探索和證明，并能應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行簡單計(jì)算或證明。 教學(xué)用具：圓規(guī)，三角尺，幾何畫板課件 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入 1、我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓怎樣的對稱性質(zhì)？ 2、圓還有什么對稱性質(zhì)？作為軸對稱圖形，其對稱軸是？（直徑所在的直線） 3、觀察并回答： （1）在含有一條直徑AB的圓上再增加一條直徑CD，兩條直徑的位置關(guān)系？（兩條直徑始終是互相平分的）   （2）把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？ 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3    二、新課 （一）猜想，證明，形成垂徑定理 1、猜想：弦AB在怎樣情況下會(huì)被直徑CD平分？（當(dāng)CD⊥AB時(shí)）（用課件觀察翻折驗(yàn)證） 2、得出猜想：在圓⊙O中，CD是直徑，AB是弦，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，弦AB會(huì)被直徑CD平分。垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  3、提問：如何證明該命題是真命題？根據(jù)命題，寫出已知、求證： 如圖，已知CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為M。 求證：AE=BE。 4、思考：直徑CD兩側(cè)相鄰的兩條弧是否也相等？如何證明？ 5、給這條特殊的直徑命名——垂直于弦的直徑。并給出垂徑定理： 如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，且平分這條弦所對的弧。 （二）分析垂徑定理的條件和結(jié)論 1、引導(dǎo)學(xué)生說出定理的幾何語言表達(dá)形式 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  2、利用反例、變式圖形對定理進(jìn)一步引申，揭示定理的本質(zhì)屬性，以加深學(xué)生對定理的本質(zhì)了解。 例1 看下列圖形，是否能使用垂徑定理？ 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  3、引申定理：定理中的垂徑可以是直徑、半徑、弦心距等過圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變式：   ① 經(jīng)過圓心  ① 平分弦 一條直線具有：得到 ② 垂直于弦 ② 平分弦所對的劣（優(yōu)）弧 例2  如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3    在例2圖形的基礎(chǔ)上： 變式（1）即例3  已知：如圖，若以O(shè)為圓心作一個(gè)⊙O的同心圓，交大圓的弦AB于C，D兩點(diǎn)。 求證：AC＝BD。 垂徑定理（第一課時(shí)）》教案的分析和比較 TITLE=《§27.3  變式（2）再添加一個(gè)同心圓，得（圖2）則AC  BD 變式（3）隱去（圖1）中的大圓，連接OA，OB，設(shè)OA=OB，求證：AC＝BD。 變式（4）隱去（圖1）中的大圓，連接OC，OD，設(shè)OC=OD，求證：AC＝BD。 三、小結(jié) 1、這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？ 2、應(yīng)用垂徑定理要注意那些問題？ 垂徑定理的條件和結(jié)論：  ① 經(jīng)過圓心    ① 平分弦 一條直線具有： 得到② 平分弦所對的劣弧   ② 垂直于弦   ③ 平分弦所對的優(yōu)弧 3、思考：若將條件中的②與結(jié)論中的①互換，命題成立嗎？ 第三部分：《§27.3  垂徑定理（第一課時(shí)）》新舊教案不同點(diǎn)     比較項(xiàng)目 初始教案 執(zhí)教教案   教學(xué)目標(biāo)   3、讓學(xué)生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3、讓學(xué)生積極投入到對圓的軸對稱性的研究中，體驗(yàn)到垂徑定理是圓的軸對稱性質(zhì)的重要體現(xiàn)。 教學(xué)重點(diǎn) 垂徑定理的掌握及運(yùn)用 使學(xué)生掌握垂徑定理、記住垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論。 教學(xué)難點(diǎn) 垂徑定理的探索和證明 對垂徑定理的探索和證明，并能應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行簡單計(jì)算或證明。             教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 1、什么叫弦？直徑與弦的關(guān)系？ 2、什么叫��？劣弧、優(yōu)弧、半圓的關(guān)系？ 3、圓的對稱性質(zhì)？作為軸對稱圖形，其對稱軸是？         二、新課 3、垂徑定理的變式： 一條直線具有2個(gè)條件： ①  經(jīng)過圓心 ；② 垂直于弦 得到3個(gè)結(jié)論： ①  平分弦 ② 平分弦所對的劣弧 ③ 平分弦所對的優(yōu)弧 一、復(fù)習(xí)引入 1、回顧上一節(jié)課的定理與推論：同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條劣弧（或優(yōu)�。�，兩條弦，兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余三組量也分別相等 2、以上定理及推論體現(xiàn)了圓怎樣的對稱性質(zhì)？ 3、圓還具有什么對稱性質(zhì)？作為軸對稱圖形，其對稱軸是？ 二、新課 3、垂徑定理的變式： 一條直線具有2個(gè)條件： ① 經(jīng)過圓心 ；② 垂直于弦 得到2個(gè)結(jié)論： ① 平分弦 ② 平分弦所對的劣（優(yōu)）弧 例題 例1 看下列圖形，是否能使用垂徑定理？           例2  如圖，已知在⊙O中， （1）弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑 （2）弦AB的長為6厘米，⊙O的半徑為5厘米，求圓心O到AB的距離 （3）⊙O的半徑為10厘米，圓心O到AB的距離為6厘米，求弦AB的長 例1 看下列圖形，是否能使用垂徑定理？           例2  如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑   生活實(shí)際應(yīng)用 例4（趙州橋橋拱問題）1300 多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的

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