《正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象》教案

1.4.1(第三課時) 正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象   鄧城 增城中學(xué) 教學(xué)目的： 1 理解振幅、周期、頻率、初相的定義； 2 理解振幅變換、相位變換和周期變換的規(guī)律; 3 會用“五點法”畫出y=Asin(ωx+φ)的簡圖 ，明確A、ω和 對函數(shù)圖象的影響作用； 4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。 5.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力，以及探究、創(chuàng)新的能力。 教學(xué)重點：熟練地對y＝sinx進行振幅、周期和相位變換 。 教學(xué)難點：理解振幅變換、周期變換和相位變換的規(guī)律。 教學(xué)方法：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合作圖過程理解振幅和相位變化的規(guī)律。本節(jié)課采用作圖、觀察、歸納、啟發(fā)探究相結(jié)合的教學(xué)方法，運用現(xiàn)代化多媒體教學(xué)手段，進行教學(xué)活動，首先按照由特殊到一般的認知規(guī)律，由形及數(shù)，數(shù)形結(jié)合，通過設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，形成規(guī)律，使學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行合作交流，在思考、探究和交流的過程中獲得對正弦函數(shù)圖象變換全面的體驗和理解 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教  具：多媒體、實物投影儀   教學(xué) 環(huán)節(jié)   教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)引入   復(fù)習(xí)正弦函數(shù) 的圖象和性質(zhì) 教師提出問題，學(xué)生回答 為學(xué)生認識正弦型函數(shù)奠定基礎(chǔ)         概念形成及應(yīng)用舉例 通過觀察、考慮觀纜車，引出振幅、周期、頻率、初相的概念。 在函數(shù) 中，點P旋轉(zhuǎn)一周所需要的時間 ，叫做點P的轉(zhuǎn)動周期。在1秒內(nèi)，點P轉(zhuǎn)動的周數(shù) ，叫做轉(zhuǎn)動的頻率。 與 軸正方向的夾角 叫做初相。                                           例1畫出函數(shù)y=2sinx  xR；y= sinx  xR的圖象（簡圖） 解：畫簡圖，我們用“五點法” ∵這兩個函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期為2π ∴我們先畫它們在［0，2π］上的簡圖 列表： x  0   p   2p sinx   0 1 0 -1 0   2sinx   0 2 0 -2 0   sinx  0   0 - 0 作圖：   利用這類函數(shù)的周期性，我們把上面的簡圖向左、向右連續(xù)平移 就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝ sinx，x∈R。的簡圖 (1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變) (2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍而得(橫坐標(biāo)不變)   一般地，函數(shù) 的值域是 最大值是 ，最小值是 ，由此可知， 的大小，反映曲線 波動幅度的大小。因此 也稱為振幅。 引導(dǎo),觀察,啟發(fā)：與y=sinx的圖象作比較，結(jié)論： 1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的 2．它的值域[－A, A] ，最大值是A, 最小值是－A 3．若A<0 可先作y=－Asinx的圖象 ，再以x軸為對稱軸翻折 稱為振幅，這一變換稱為振幅變換 例2  畫出函數(shù) y＝sin(x＋ )，x∈R，y＝sin(x－ )，x∈R的簡圖 解：列表 x -         x+ 0       2 sin(x+ ) 0 1 0 –1 0 描點畫圖：       X           x－ 0       2 sin(x– ) 0 1 0 –1 0               引導(dǎo),觀察,啟發(fā)：   (1)函數(shù)y＝sin(x＋ )，x∈R的圖象可看作把正弦曲線上所有的點向左平行移動 個單位長度而得到 (2)函數(shù)y＝sin(x－ )，x∈R的圖象可看作把正弦曲線上所有點向右平行移動 個單位長度而得到 一般地，函數(shù)y＝sin(x＋ )，x∈R(其中 ≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當(dāng) ＞0時)或向右(當(dāng) ＜0時)平行移動｜ ｜個單位長度而得到 (用平移法注意講清方向：“加左”“減右”) y＝sin(x＋ )與y＝sinx的圖象只是在平面直角坐標(biāo)系中的相對位置不一樣，這一變換稱為相位變換 例3 畫出函數(shù)y=sin2x  xR；y=sin x  xR的圖象（簡圖）   解：函數(shù)y＝sin2x，x∈R的周期T＝ ＝π 我們先畫在［0，π］上的簡圖,在[0, p]上作圖,列表： 2x 0   p   2p x 0       p y=sin2x 0 1 0 -1 0 作圖：     函數(shù)y＝sin x，x∈R的周期T＝ ＝4π 我們畫［0，4π］上的簡圖，列表：     0   p   2p x 0 p 2p 3p 4p sin 0 1 0 -1 0  (1)函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的 (2)函數(shù)y＝sin ，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)而得到 引導(dǎo), 觀察啟發(fā): 與y=sinx的圖象作比較 1．函數(shù)y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變） 2．若ω<0則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖 ω決定了函數(shù)的周期，這一變換稱為周期變換 例4  畫出函數(shù)y＝3sin(2x＋ )，x∈R的簡圖 解：(五點法)由T＝ ，得T＝π  列表：   x –         2x+ 0   π   2π 3sin(2x+ 0 3 0 –3 0 描點畫圖：                         左移 個單位 這種曲線也可由圖象變換得到：即：   y＝sinx  y＝sin(x＋ )   縱坐標(biāo)不變 橫坐標(biāo)變?yōu)?倍       y＝sin(2x＋ )   縱坐標(biāo)變?yōu)?倍 橫坐標(biāo)不變             一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋ )，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的圖象，可以看作用下面的方法得到： 先把正弦曲線上所有的點向左(當(dāng) ＞0時)或向右(當(dāng) ＜0時)平行移動｜ ｜個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時)或伸長(當(dāng)0＜ω＜1時)到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得各點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A＞1時)或縮短(當(dāng)0＜A＜1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變) 另外，注意一些物理量的概念: A ：稱為振幅；T＝ ：稱為周期；f＝ ：稱為頻率； ωx＋ ：稱為相位 x＝0時的相位 ，稱為初相 評述：由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋ )的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將y＝sinx的圖象向左( ＞0)或向右( ＜0)平移｜ ｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ )的圖象 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換 先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(ω＞0),再沿x軸向左( ＞0)或向右( ＜0)平移 個單位，便得y＝sin(ωx＋ )的圖象 課堂練習(xí)： 1 若將某函數(shù)的圖象向右平移 以后所得到的圖象的函數(shù)式是y＝sin(x＋ )，則原來的函數(shù)表達式為( ) A y＝sin(x＋ ) B y＝sin(x＋ ) C y＝sin(x－ )  D y＝sin(x＋ )－ 答案：A 2 函數(shù)y＝3sin(2x＋ )的圖象，可由y＝sinx的圖象經(jīng)過下述哪種變換而得到 (  ) 答案：B A 向右平移 個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的 倍，縱坐標(biāo)擴大到原來的3倍 B 向左平移 個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的 倍，縱坐標(biāo)擴大到原來的3倍 C 向右平移 個單位，橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的 倍 D 向左平移 個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的 倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的 倍   3.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋ )，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝ 時函數(shù)取得最大值2，當(dāng)x＝ 時函數(shù)取得最小值－2，則該函數(shù)的解析式為( ) A y＝2sin(3x－ ) B y＝2sin(3x＋ ) C y＝2sin( ＋ ) D y＝2sin( － ) 解析：由題設(shè)可知，所求函數(shù)的圖象如圖所示，點( ，2)和點( ，－2)都是圖象上的點，且由“五點法”作圖可知，這兩點分別是“第二點”和“第四點”，所以應(yīng)有： 解得   答案：B 由y＝Asin(ωx＋ )的圖象求其函數(shù)式： 一般來說，在這類由圖象求函數(shù)式的問題中，如對所求函數(shù)式中的A、ω、 不加限制(如A、ω的正負，角 的范圍等)，那么所求的函數(shù)式應(yīng)有無數(shù)多個不同的形式(這是由于所求函數(shù)是周期函數(shù)所致)，因此這類問題多以選擇題的形式出現(xiàn)，我們解這類題的方法往往因題而異，但逆用“五點法”作圖的思想?yún)s滲透在各不同解法之中 小結(jié)  平移法過程：       1.教師演示觀纜車旋轉(zhuǎn)過程，指導(dǎo)學(xué)生認識和感受。 2.教師提問：通過分析， 對觀纜車的旋轉(zhuǎn)有什么影響？ 3.學(xué)生回答。 4.教師引導(dǎo)歸納。 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其中 表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅；往復(fù)一次所需的時間 ，稱為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù) ，稱為振動的頻率； 稱為相位； 時的相位φ稱為初相。 5.學(xué)生在黑板上利用“五點法”畫圖。 教師提問：y=2sinx  xR和y= sinx  xR的圖象與 的圖象間的關(guān)系怎樣？ 學(xué)生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變) (2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍而得(橫坐標(biāo)不變) 教師提問：一般地 y=Asinx的圖象與y＝sinx的圖象間具有怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生回答：y=Asinx，xR(A>0且A1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A

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