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數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間:2022-04-26 09:14:21 總結(jié) 我要投稿

人教版數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)

  在平平淡淡的學(xué)習(xí)中,大家最熟悉的就是知識點(diǎn)吧?知識點(diǎn)是知識中的最小單位,最具體的內(nèi)容,有時(shí)候也叫“考點(diǎn)”。為了幫助大家更高效的學(xué)習(xí),以下是小編為大家整理的人教版數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié),希望對大家有所幫助。

人教版數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)1

  【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】

  1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射.

  2、對于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點(diǎn):

  (1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

  (2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式.

  (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).

  3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:

  (1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;

  (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

  (3)將x,y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x),并注明定義域.

  注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.

 、谑煜さ膽(yīng)用,求f-1(x0)的值,合理利用這個(gè)結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運(yùn)算.

  【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】

  1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時(shí),求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:

  (1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題,這時(shí)自變量x有實(shí)際意義,求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;

  (2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:

  ①分式的分母不得為零;

 、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零;

 、蹖(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

 、苤笖(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

 、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等.

  應(yīng)注意,一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí),定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集).

  (3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域,求另一個(gè)函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.

  已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時(shí)f(x)的定義域,即g(x)的值域.

  2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

  (1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí),必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.

  (2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可.

  (3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,這時(shí)必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

  (4)若已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式.

  【(三)、函數(shù)的值域與最值】

  1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:

  (1)直接法:亦稱觀察法,對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域.

  (2)換元法:運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時(shí),用三角換元.

  (3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

  (4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

  (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧.

  (6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

  (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

  (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

  2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

  求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.

  如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時(shí),函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

  3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

  函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實(shí)際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”,“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問題上,求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.

  【(四)、函數(shù)的奇偶性】

  1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

  正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點(diǎn):(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

  2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價(jià)形式:

  注意如下結(jié)論的運(yùn)用:

  (1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|x|)總是偶函數(shù);

  (2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)·g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

  (3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

  (4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

  3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論

  (1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.

  (2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

  (3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立.

  (4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

  (5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù),G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

  (6)奇偶性的推廣

  函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

  【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】

  1、單調(diào)函數(shù)

  對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a,b]上任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x1>x2時(shí),都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立,稱f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

  對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解,要注意以下三點(diǎn):

  (1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.

  (2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì),因此定義中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替.

  (3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).

  (4)注意定義的兩種等價(jià)形式:

  設(shè)x1、x2∈[a,b],那么:

 、僭赱a、b]上是增函數(shù);

  在[a、b]上是減函數(shù).

 、谠赱a、b]上是增函數(shù).

  在[a、b]上是減函數(shù).

  需要指出的是:①的幾何意義是:增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1))、(x2,f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

  (5)由于定義都是充要性命題,因此由f(x)是增(減)函數(shù),且(或x1>x2),這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

  5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性

  若u=g(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性,與y=f(u)在[g(a),g(b)](或g(b),g(a))上的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[a,b]上單調(diào)遞增;否則,單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.

  在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí),常需要先將函數(shù)化簡,轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此,掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將大大縮短我們的判斷過程.

  6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法

  (1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為:①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據(jù)定義,得出結(jié)論.

  (2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).

  如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù).

  【(六)、函數(shù)的圖象】

  函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn),應(yīng)加強(qiáng)對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng),培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識.

  求作圖象的函數(shù)表達(dá)式

  與f(x)的關(guān)系

  由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換

  y=f(x)±b(b>0)

  沿y軸向平移b個(gè)單位

  y=f(x±a)(a>0)

  沿x軸向平移a個(gè)單位

  y=-f(x)

  作關(guān)于x軸的對稱圖形

  y=f(|x|)

  右不動(dòng)、左右關(guān)于y軸對稱

  y=|f(x)|

  上不動(dòng)、下沿x軸翻折

  y=f-1(x)

  作關(guān)于直線y=x的對稱圖形

  y=f(ax)(a>0)

  橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變

  y=af(x)

  縱坐標(biāo)伸長到原來的|a|倍,橫坐標(biāo)不變

  y=f(-x)

  作關(guān)于y軸對稱的圖形

  【例】定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0.

 、偾笞C:f(0)=1;

 、谇笞C:y=f(x)是偶函數(shù);

  ③若存在常數(shù)c,使求證對任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù),如果是,找出它的一個(gè)周期;如果不是,請說明理由.

  思路分析:我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù),解決這類問題一般采用賦值法.

  解答:①令x=y=0,則有2f(0)=2f2(0),因?yàn)閒(0)≠0,所以f(0)=1.

 、诹顇=0,則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),這說明f(x)為偶函數(shù).

 、鄯謩e用(c>0)替換x、y,有f(x+c)+f(x)=

  所以,所以f(x+c)=-f(x).

  兩邊應(yīng)用中的結(jié)論,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x),

  所以f(x)是周期函數(shù),2c就是它的一個(gè)周期.

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)2

  什么是不等式?

  一般地,用純粹的大于號“>”、小于號“<”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式,用不小于號(大于或等于號)“≥”、不大于號(小于或等于號)“≤”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式,或稱廣義不等式?偟膩碚f,用不等號(<,>,≥,≤,≠)連接的式子叫做不等式。

  通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù),字母也代表實(shí)數(shù),不等式的一般形式為F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z)(其中不等號也可以為<,≤,≥,>中某一個(gè)),兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域,不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題,也可以表示一個(gè)問題。

  數(shù)學(xué)知識點(diǎn)1、不等式性質(zhì)比較大小方法:

 。1)作差比較法(2)作商比較法

  不等式的基本性質(zhì)

 、賹ΨQ性:a > b,b > a

  ②傳遞性:a > b,b > ca > c

  ③可加性:a > b a + c > b + c

 、芸煞e性:a > b,c > 0,ac > bc

 、菁臃ǚ▌t:a > b,c > d,a + c > b + d

 、蕹朔ǚ▌t:a > b > 0,c > d > 0,ac > bd

 、叱朔椒▌t:a > b > 0,an > bn(n∈N)

 、嚅_方法則:a > b > 0

  數(shù)學(xué)知識點(diǎn)2、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理:

 。1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab;(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號)

 。2)如果a、b∈R+,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號)推廣:

  如果為實(shí)數(shù),則重要結(jié)論

  (1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值2;

 。2)如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí),和xy有最大值S2/4。

  數(shù)學(xué)知識點(diǎn)3、證明不等式的常用方法:

  比較法:比較法是最基本、最重要的方法。

  當(dāng)不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式,則選擇作差比較法;當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小,則選擇作商比較法;碰到絕對值或根式,我們還可以考慮作平方差。

  綜合法:從已知或已證明過的不等式出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。

  分析法:不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚,通過尋找不等式成立的充分條件,逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化,直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)3

  1、命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么?

  (互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。)

  原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。

  2、對映射的概念了解嗎?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性,哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射?

 。ㄒ粚σ,多對一,允許B中有元素?zé)o原象。)

  3、函數(shù)的三要素是什么?如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同?

 。ǘx域、對應(yīng)法則、值域)

  4、反函數(shù)存在的條件是什么?

 。ㄒ灰粚(yīng)函數(shù))

  求反函數(shù)的步驟掌握了嗎?

 。á俜唇鈞;②互換x、y;③注明定義域)

  5、反函數(shù)的性質(zhì)有哪些?

  ①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

  ②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性;

  6、函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?

 。╢(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)4

  (1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。

  (2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

  (3)函數(shù)圖形都是下凹的。

  (4)a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的。

  (5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律,就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。

  (6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無限趨向于X軸,永不相交。

  (7)函數(shù)總是通過(0,1)這點(diǎn)。

  (8)顯然指數(shù)函數(shù)無界。

  奇偶性

  定義

  一般地,對于函數(shù)f(x)

  (1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

  (2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

  (3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù)。

  (4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù)。

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實(shí)數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

  在x大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

  在x小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕?實(shí)數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點(diǎn)。

  (2)當(dāng)a大于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當(dāng)a大于1時(shí),冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí),冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當(dāng)a小于0時(shí),a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點(diǎn)。

  (6)顯然冪函數(shù)無界。

  定義:

  x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。

  范圍:

  傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°。

  理解:

  (1)注意“兩個(gè)方向”:直線向上的方向、x軸的正方向;

  (2)規(guī)定當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí),它的傾斜角為0度。

  意義:

  ①直線的傾斜角,體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度;

  ②在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角;

  ③傾斜角相同,未必表示同一條直線。

  公式:

  k=tanα

  k>0時(shí)α∈(0°,90°)

  k<0時(shí)α∈(90°,180°)

  k=0時(shí)α=0°

  當(dāng)α=90°時(shí)k不存在

  ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A,

  則tanA=-a/b,

  A=arctan(-a/b)

  當(dāng)a≠0時(shí),

  傾斜角為90度,即與X軸垂直

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)5

  相反數(shù)

  (1)相反數(shù)的概念:只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

  (2)相反數(shù)的意義:掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的,不能單獨(dú)存在,從數(shù)軸上看,除0外,互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù),它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等.

  (3)多重符號的化簡:與“+”個(gè)數(shù)無關(guān),有奇數(shù)個(gè)“﹣”號結(jié)果為負(fù),有偶數(shù)個(gè)“﹣”號,結(jié)果為正.

  (4)規(guī)律方法總結(jié):求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”,如a的相反數(shù)是﹣a,m+n的相反數(shù)是﹣(m+n),這時(shí)m+n是一個(gè)整體,在整體前面添負(fù)號時(shí),要用小括號.

  2代數(shù)式求值

  (1)代數(shù)式的:用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

  (2)代數(shù)式的求值:求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算.如果給出的代數(shù)式可以化簡,要先化簡再求值.

  題型簡單總結(jié)以下三種:

 、僖阎獥l件不化簡,所給代數(shù)式化簡;

 、谝阎獥l件化簡,所給代數(shù)式不化簡;

 、垡阎獥l件和所給代數(shù)式都要化簡.

  3由三視圖判斷幾何體

  (1)由三視圖想象幾何體的形狀,首先,應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀,然后綜合起來考慮整體形狀.

  (2)由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的,可以從以下途徑進(jìn)行分析:

 、俑鶕(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀,以及幾何體的長、寬、高;

 、趶膶(shí)線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線;

  ③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助;

 、芾糜扇晥D畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程,反復(fù)練習(xí),不斷總結(jié)方法

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)6

  函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A---B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.

  (1)其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

  (2)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

  函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則

  函數(shù)的表示方法:(1)解析法:明確函數(shù)的定義域

  (2)圖想像:確定函數(shù)圖像是否連線,函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。

  (3)列表法:選取的自變量要有代表性,可以反應(yīng)定義域的特征。

  4、函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.

  (2)畫法

  A、描點(diǎn)法:B、圖象變換法:平移變換;伸縮變換;對稱變換,即平移。

  (3)函數(shù)圖像平移變換的特點(diǎn):

  1)加左減右——————只對x

  2)上減下加——————只對y

  3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)

  4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)

  5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱得函數(shù)y=-f(-x)

  6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去,x軸上面圖像不動(dòng)得

  函數(shù)y=|f(x)|

  7)函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像,然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得函數(shù)f(|x|)

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)7

  不等式的解集:

 、倌苁共坏仁匠闪⒌奈粗獢(shù)的值,叫做不等式的解。

 、谝粋(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。

  ③求不等式解集的過程叫做解不等式。

  不等式的判定:

 、俪R姷牟坏忍栍小>”“<”“≤”“≥”及“≠”。分別讀作“大于,小于,小于等于,大于等于,不等于”,其中“≤”又叫作不大于,“≥”叫作不小于;

 、谠诓坏仁健癮>b”或“a

 、鄄坏忍柕拈_口所對的數(shù)較大,不等號的尖頭所對的數(shù)較小;

 、茉诹胁坏仁綍r(shí),一定要注意不等式關(guān)系的關(guān)鍵字,如:正數(shù)、非負(fù)數(shù)、不大于、小于等等。

  任一x?A,x?B,記做AB

  AB,BAA=B

  AB={x|x?A,且x?B}

  AB={x|x?A,或x?B}

  Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)

  (1)命題

  原命題若p則q

  逆命題若q則p

  否命題若p則q

  逆否命題若q,則p

  (2)AB,A是B成立的充分條件

  BA,A是B成立的必要條件

  AB,A是B成立的充要條件

  1.集合元素具有①確定性;②互異性;③無序性

  2.集合表示方法①列舉法;②描述法;③韋恩圖;④數(shù)軸法

  (3)集合的運(yùn)算

 、貯∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

 、贑u(A∩B)=CuA∪CuB

  Cu(A∪B)=CuA∩CuB

  (4)集合的性質(zhì)

  n元集合的字集數(shù):2n

  真子集數(shù):2n-1;

  非空真子集數(shù):2n-2

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)8

  集合與元素

  一個(gè)東西是集合還是元素并不是絕對的,很多情況下是相對的,集合是由元素組成的集合,元素是組成集合的元素。

  例如:你所在的班級是一個(gè)集合,是由幾十個(gè)和你同齡的同學(xué)組成的集合,你相對于這個(gè)班級集合來說,是它的一個(gè)元素;

  而整個(gè)學(xué)校又是由許許多多個(gè)班級組成的集合,你所在的班級只是其中的一分子,是一個(gè)元素。

  班級相對于你是集合,相對于學(xué)校是元素,參照物不同,得到的結(jié)論也不同,可見,是集合還是元素,并不是絕對的。

  解集合問題的關(guān)鍵

  解集合問題的關(guān)鍵:弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的,也就是將抽象問題具體化、形象化,將特征性質(zhì)描述法表示的集合用列舉法來表示,或用韋恩圖來表示抽象的集合,或用圖形來表示集合;比如用數(shù)軸來表示集合,或是集合的元素為有序?qū)崝?shù)對時(shí),可用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示相關(guān)的集合等。

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)9

  函數(shù)及其表示

  知識點(diǎn)詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等

  1. 函數(shù)與映射的區(qū)別:

  2. 求函數(shù)定義域

  常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下:

 、佼(dāng)f(x)為整式時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)镽.

 、诋(dāng)f(x)為分式時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)槭狗质椒帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合。

  ③當(dāng)f(x)為偶次根式時(shí),函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實(shí)數(shù)集合。

 、墚(dāng)f(x)為對數(shù)式時(shí),函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合。

 、萑绻鹒(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合,即求各部分有意義的實(shí)數(shù)集合的交集。

  ⑥復(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各基本的函數(shù)定義域的交集。

 、邔τ谟蓪(shí)際問題的背景確定的函數(shù),其定義域除上述外,還要受實(shí)際問題的制約。

  3. 求函數(shù)值域

  (1)、觀察法:通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域;

  (2)、配方法;如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式,那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方,通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;

  (3)、判別式法:

  (4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域;

  (5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域;

  (6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的,那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來求出值域;

  (7)、利用基本不等式:對于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;

  (8)、最值法:對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;

  (9)、反函數(shù)法:如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù),那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。

  數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)10

  1.函數(shù)的奇偶性

  (1)若f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x);

  (2)若f(x)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則f(0)=0(可用于求參數(shù));

  (3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

  (4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性;

  (5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

  2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

  (1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí),求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

  (2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

  3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)

  (1)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)仍在圖像上;

  (2)證明圖像C1與C2的對稱性,即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)仍在C2上,反之亦然;

  (3)曲線C1:f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

  (4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;

  (5)若函數(shù)y=f(x)對x∈R時(shí),f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱;

  (6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=對稱;

  4.函數(shù)的周期性

  (1)y=f(x)對x∈R時(shí),f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);

  (2)若y=f(x)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);

  (3)若y=f(x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);

  (4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對稱,則f(x)是周期為2的周期函數(shù);

  (5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);

  (6)y=f(x)對x∈R時(shí),f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);

  5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);

  6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

  7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

  (2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

  (3)logab的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶;

  (4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

  8.判斷對應(yīng)是否為映射時(shí),抓住兩點(diǎn):

  (1)A中元素必須都有象且;

  (2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

  9.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,求反函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性。

  10.對于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論:

  (1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);

  (2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

  (3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);

  (4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

  (5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

  (6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù),設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

  11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合

  二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系;

  12.依據(jù)單調(diào)性

  利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題;

  13.恒成立問題的處理方法

  (1)分離參數(shù)法;

  (2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

  1、直線的傾斜角

  定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

  2、直線的斜率

 、俣x:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

  ②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:

  注意下面四點(diǎn):

  (1)當(dāng)時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;

  (2)k與P1、P2的順序無關(guān);

  (3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

  (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

  3、直線方程

  點(diǎn)斜式:

  直線斜率k,且過點(diǎn)

  注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。

  1、三類角的求法:

  ①找出或作出有關(guān)的角。

 、谧C明其符合定義,并指出所求作的角。

 、塾(jì)算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。

  2、正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

  正棱錐——底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

  正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中:

  3、怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系?

  圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

  直線與圓相交時(shí),注意利用圓的“垂徑定理”。

  4、對線性規(guī)劃問題:作出可行域,作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線,在可行域內(nèi)平移直線,求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

  培養(yǎng)興趣是關(guān)鍵。學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣,自然有動(dòng)力去鉆研。如何培養(yǎng)興趣呢?

  (1)欣賞數(shù)學(xué)的美感

  比如幾何圖形中的對稱、變換前后的不變量、概念的嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯的嚴(yán)密……

  通過對旋轉(zhuǎn)變換及其不變量的討論,我們可以證明反比例函數(shù)、“對勾函數(shù)”的圖象都是雙曲線——平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值(小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的集合。

  (2)注意到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

  例如和日常生活息息相關(guān)的等額本金、等額本息兩種不同的還款方式,用數(shù)列的知識就可以理解.

  (3)采用靈活的教學(xué)手段,與時(shí)俱進(jìn)。

  利用多種技術(shù)手段,聲、光、電多管齊下,老師可以借此把一些知識講得更具體形象,學(xué)生也更容易接受,理解更深。

  (4)適當(dāng)看一些科普類的書籍和文章。

  比如:學(xué)圓錐曲線的時(shí)候,可以看看一些建筑物的外形,它們被平面所截出的曲線往往就是各種圓錐曲線,很多文章對此都有介紹;還有圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用,這方面的文章也不少。

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